△ABC和△CDE都是等边三角形，点A、C、E在同一直线上，AD与BE、BC分别交于点F、M
数学答案 2023-04-27
问题描述：
△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上，AD与BE、BC分别交于点F、M，BE与CD交于点N。下列结论正确的是①AM=BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC+∠FNC=180°；④1/MN =1/AC+1/CE
最佳答案：
①AM=BN
证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，∠CAD=∠CBE，
在△DMC和△ENC中，
∠MDC=∠NEC，DC=BC，∠MCD=∠NCE=60°，
∴△DMC≌△ENC（ASA），
∴DM=EN，CM=CN，
∴AD-DM=BE-EN，即AM=BN；
②△ABF≌△DNF
∵∠ABC=60°=∠BCD，
∴AB∥CD，
∴∠BAF=∠CDF，
∵∠AFB=∠DFN，
∴△ABF≌△DNF，找不出全等的条件；
③∠FMC+∠FNC=180°
∵∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°，∠FBC=∠CAF，
∴∠AFB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠AFB=60°，
∴∠MFN=120°，
∵∠MCN=60°，
∴∠FMC+∠FNC=180°；
④1/MN = 1/AC+1/CE
∵CM=CN，∠MCN=60°，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MNC=60°，
∵∠DCE=60°，
∴MN∥AE，
∴MN/AC=DN/CD=（CD-CN）/CD ，
∴CD=CE，MN=CN，
∴MN/AC=（CE-MN）/ CE，
∴MN/AC=1-MN/CE，
两边同时除MN得1/AC=1/MN-1/CE
∴1/MN=1/AC+1/CE
故答案为①③④
2023-04-27
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